對遠期合約定價

2024-06-28 17:15 admin

在剛剛進入遠期合約時，其價值為0。但在進入合約之后，遠期合約價值可能為正也可能為負。對銀行或其他金融機構來講，每天計算這些合約的價值是非常重要的（這叫對合約按市場定價）。采用前面引入的符號，假設K是以前成交的合約的交割價格，合約的交割日期是在從今日起T年之后，r是期限為T年的無風險利率，變量F₀表示目前的遠期價格，即假如在今天成交的話，合約的交割價格。我們還定義f為遠期合約今天的價值。
清楚地理解變量F₀、K和f的含義是非常重要的。如果今天正好是合約的最初成交日，那么交割價格K等于遠期價格F₀，而且合約的價值f是0。隨著時間的推移，K保持不變（因為它已經被合約確定），但遠期價格F₀將會變動，而且遠期合約的價值f可以變成或正或負。
對于遠期合約的多頭方（投資資產和消費資產），合約的價值是

(5-4)

為了說明式（5-4）是正確的，我們采用類似于4.7節里關于遠期利率合約價格的證明方式。我們用以下形式構造一個組合：（a）以遠期價格K在時間T購買標的資產，和（b）以遠期價格F₀在時間T賣出標的資產。組合中第1個合約在時間T的收益為S_T-K，第2個合約的收益為F₀-S_T，總收益為F₀-K。這個數值在今天是已知的。因此交易組合是無風險的，在今天的價值等于在時間收益的貼現值，即（F₀-K）e^-rT。因為F₀是今天進入遠期合約時的遠期價格，所以按交割價格F₀賣出資產的遠期合約價值為0，由此可見，具有交割價格K的合約（多頭）在今天的價值為（F₀-K）e^-rT。類似地，以執行價格K賣出資產的遠期合約（空頭）的價值為（K-F₀）e^-rT。

例5-4
一個無股息股票上的遠期合約多頭是在以前成交的。這一遠期合約還有6個月到期。無風險利率（連續復利）為10%，股票價格為25美元，遠期合約的交割價格為24美元。這時S₀=25，r=0.10，T=0.5和K=24。由式（5-1）得出6個月期的遠期合約的價格F₀為

由式（5-4）可知遠期合約的價值為

式（5-4）說明對于一個資產上的遠期合約多頭定價時，我們可以假定資產在遠期合約到期時的價格等于遠期價格F₀。為了說明這一點，注意在做出這個假設之后，遠期合約在T時刻的收益為F₀-K，貼現值為（F₀-K）e^-rT，這與式（5-4）中的f一致。類似地，在對于遠期合約空頭進行定價時也可以假設遠期價格在將來會實現。這與4.7節中的結果類似：對遠期利率合約定價時，我們可以假設遠期價格在將來會實現。
將式（5-4）與式（5-1）結合，我們可以得出在沒有中間收入的資產上的遠期合約多頭價值為

(5-5)

類似地，將式（5-4）與式（5-2）結合，我們可以得出在提供貼現值為I的已知收入的投資資產上遠期合約多頭價值為

(5-6)

最后，將式（5-4）與式（5-3）并用，我們可以得出提供收益率為q的投資資產上的遠期合約多頭價值為

(5-7)

當期貨價格變化時，期貨合約的盈虧等于其價格變化乘以持有期貨頭寸的大小。因為期貨合約為每日結算，所以收益幾乎馬上就可以兌現。式（5-4）表示當遠期價格變化時，其盈虧等于遠期價格變化的貼現值，并乘以其頭寸的大小。

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